已知函数f（x）=ax2-|x|+2a-1（a为实常数）．

解题思路：（1）通过a=1，化简函数的表达式为分段函数，化简为顶点式的二次函数，即可求f（x）的单调增区间；
（2）利用x的范围，化简函数，利用而成的开口方向，讨论a的范围下，利用函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）利用a＞0，以及函数的定义域，化简f（x）为顶点式，然后求解在区间[1，2]的最小值为g（a），即可得到g（a）的表达式．

（1）a=1时，f(x)＝x2−|x|+1＝

x2−x+1，x≥0
x2+x+1，x＜0＝

(x−
1
2)2+
3
4，x≥0
(x+
1
2)2+
3
4，x＜0…（2分）
∴f（x）的单调增区间为（[1/2，+∞），（-
1
2]，0）．…（4分）
（2）x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1
当a＞0时，
1
2a≤1，即：a≥
1
2．；…（6分）
当a=0时，f（x）=-x-1，不满足条件；…（7分）
当a＜0时，
1
2a≥2．不等式不成立．…（8分）
∴a的取值范围为：a≥
1
2．…（9分）
（3）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2−x+2a−1＝a(x−
1
2a)2+2a−
1
4a−1
1⁰0＜
1
2a＜1即a＞
1
2f（x）在[1，2]为增函数g（a）=f（1）=3a-2…（11分）
2⁰1≤
1
2a≤2即

点评：
本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查二次函数的化简，绝对值的函数的应用，分段函数指正的求法，考查转化思想以及计算能力．