高数 重积分的换元法 ∫∫(D)cos[(x-y)/(x+y)]dxdy 其中D是由x+y=1,x=0,y=0所围成的区

令u=x+y,v=x-y,则x=(u+v)/2,y=(u-v)/2
∵x+y=1,x=0,y=0
∴u=1,u+v=0,u-v=0
∵D是由x+y=1,x=0,y=0所围成的区域
∴经变换(u=x+y,v=x-y)后,D是由u=1,u+v=0,u-v=0所围成的区域
∵dxdy=│J│dudv=(1/2)dudv (│J│是变换雅可比行列式绝对值,自查有关资料)
故∫∫(D)cos[(x-y)/(x+y)]dxdy
=(1/2)∫du∫cos(v/u)dv (作变换：u=x+y,v=x-y)
=(1/2)∫udu∫cos(v/u)d(v/u)
=(1/2)∫u[sin1-sin(-1)]du
=sin1*∫udu
=sin1*(1/2)
=(1/2)sin1.