设A为正定矩阵,证明:对任何正整数m,存在矩阵正定B,使B^m=A

证明：A是正定矩阵=>A是是对称矩阵,所以A可对角化,即存在正交矩阵P和对角矩阵C使得A=（P^T）CP,这里P^T表示P的转置.（注意P是正交矩阵,所以P的逆和P的转置相同.）
由于A是正定阵,则对角阵C的主对角元上的元素均为正实数,构造对角阵D,使D的主对角线元素正好是C的主对角元素开m次方.则D^m=C.
令B=（P^T）DP,则B是正定矩阵.（首先B是对称矩阵,其次因为B和D相似,而D的特征值均为正,所以B的特征值也均为正.）
且B^m=(（P^T）DP)^m=（P^T）D^mP=（P^T）CP=A.