已知A=(a1,a2,a3,a4)是四阶矩阵,a1,a2,a3,a4是四维列向量,若方程组Ax=b,的通解是（1,2,2

因为方程组Ax=b的通解是(1,2,2,1)+k(1,-2,4,0)
那么b=(1+k)a1+(2-2k)a2+(2+4k)a3+a4
b-a4=(1+k)a1+(2-2k)a2+(2+4k)a3
方程组Ax=b导出组Ax=0的通解为k(1,-2,3,0)
即ka1-2ka2+3ka3=0
当k≠0时,存在不全为0的数使a1,a2,a3的线性组合为0,所以a1,a2,a3线性相关
又Ax=0的基础解系中只含有一个向量
所以r(a1,a2,a3,a4)=3
那么r(a1,a2,a3)=2
因为向量组a3,a2,a1,b-a4可以和向量组a1,a2,a3相互线性表示,即二者等价
那么r(a3,a2,a1,b-a4)=r(a1,a2,a3)=2

记 y=（1,2,2,1）^T，z=（1,-2,4,0）^T,
由已知，y是Ax=b的一个特解，kz是对应齐次方程Ax=0的通解
有Ay=b, Az=0
即：(1) a1+2a2+2a3+a4=b
(2) a1-2a2+4a3=0
由(2)： (3) a1=2a2-4a3
由(1)： (4) b-a4=a1+2a2+2a3 = 4a2-...