如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边上的动点，连接DE，OE．

（1）当点E运动到BC边中点时，四边形AOED是平行四边形．
理由：∵边AB是⊙O的直径，
∴O是AB的中点．
又∵点E是BC中点，
∴OE是△ABC的中位线，OE∥AC．
连接BD，
∵AB是直径，
∴BD⊥AC．
又∵∠CAB=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
∴BD也是Rt△ABC斜边AC的中线，
即D为AC中点．
又∵点E是BC中点，
∴DE∥AB，
∴四边形AOED是平行四边形；
（2）在（1）条件下，四边形OBED是正方形，
理由如下：∵DE∥AB，OD∥BC，
∴四边形OBDE是平行四边形，
∵DE，BE是圆的切线，
∴DE=BE，∠DEB=∠OBE=90°，
∴四边形OBED是正方形．

点评：
本题考点： 正方形的判定；平行四边形的判定；圆周角定理．

考点点评： 本题考查了平行四边形的判断和性质、圆周角定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．