设随机变量X的概率密度函数为f(x)关于x=c对称,即f(x-c)=f(x+c),且EX存在,证明EX=c请系统证明

设随机变量X的概率密度函数为f(x)关于x=c对称,即f(x-c)=f(x+c),且EX存在,证明EX=c请系统证明
我是这样想的,设另一随机变量Y满足标准正态分布,即Y~N（0,1）,X可以看做是Y的密度函数平移了c距离,那么EX也就是0+c=c但是这种做法并不具有推广性

四维守护神 1年前已收到1个回答举报

忘了时间幼苗

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X的数学期望需要对x*f(x)进行积分,分两部分：1、从负无穷到c ,2、从c到正无穷；
对情况1,可以将x写为x=c-(c-x);
对情况2,可以将x写为x=c+(x-c);
其中常数项积分结果为c,而后面两项借助性质f(x-c)=f(x+c)相互抵消为0,所以EX=c.

1年前追问

四维守护神举报

你那样做不对的哦，拆开后两部分后，上下限的范围变了，对C积分就不是期望了哦，期望积分范围是全范围的不过还是感谢你。由于你这个 x=c-(c-x); x=c+(x-c); 思路给了我灵感，懂做了，还是感谢你哈

举报忘了时间

是这样的：因为虽然拆开积分，但常数提取出来后，两部分可以合并，还是用期望的定义来求解，因此最终结果仍然是期望

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