求证：[a,b]上可积函数f(x), |f(x)|在[a,b]上的积分=0 的充要条件是 f^2(x)在[a,b]上的积

求证：[a,b]上可积函数f(x), |f(x)|在[a,b]上的积分=0 的充要条件是 f^2(x)在[a,b]上的积分=0
从左边推右边好像可以用积分第一中值定理， 但右边推左边不知怎么弄。。。
mmei20 1年前 已收到3个回答 举报
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winson_yu 幼苗

共回答了13个问题采纳率：92.3% 举报

可以用Lebesgue定理吗,f可积的充要条件是f在[a b]上不连续点集是零测集.用这个结论就容易了.不能用的话,我想到一个证法,就是有点麻烦：先证明若积分（从a到b）>0,则存在一个区间[c d]和一个正数e>0,使得f(x)>e,x位于[c d].这个结论用反证法证明：若对于任意的正数e和任意的区间[c d],都存在一个点t位于[c d],使得f(t)

1年前 追问

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mmei20 举报

这个还没学。。。 只用R积分的知识呢~

举报 winson_yu

那就是我上面的第二种证明方法就行。这道题不能用积分中值定理，因为被积函数没说是连续的，只有连续的函数才能用积分中值定理。如果知道Cauchy-Schwartz不等式，也能证明这道题。f^2的积分是0，证明|f|的积分是0的时候，可以用Cauchy-Schwartz不等式。反之，|f|的积分是0，则又不等式f^2<=M|f|，其中M是|f|的上确界，则可知f^2的积分是0。

漫无边际的跑啊跑 幼苗

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|f(x)|在[a,b]上的积分=0
则f(x)在[a,b]上几乎处处为0
于是f^2(x)在[a,b]上的积分=0
反之亦然。

1年前

1

AMYYOUYOU 花朵

共回答了452个问题 举报

如果有连续条件，则不需数学分析的知识。

1年前

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