已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．

解题思路：（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由椭圆的性质可得

a−c＝1 a+c＝7

从而解决．
（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．由已知

|OP|2

|OM|2

=λ²及点P在椭圆C上，可得

9x2+112

16(x2+y2)

=λ²，整理得（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，其中x∈[-4，4]．再按照圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程讨论．

（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，
由已知得

a−c＝1
a+c＝7，解得a=4，c=3，
所以椭圆C的方程为
x2
16+
y2
7=1．
（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．
由已知
|OP|2
|OM|2=λ²及点P在椭圆C上，可得
9x2+112
16(x2+y2)=λ²，
整理得（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，其中x∈[-4，4]．
①λ=[3/4]时，化简得9y²=112．
所以点M的轨迹方程为y=±
4
7
3（-4≤x≤4），轨迹是两条平行于x轴的线段．
②λ≠[3/4]时，方程变形为
x2

112
16λ2−9+
y2

112
16λ2=1，
其中x∈[-4，4]；
当0＜λ＜[3/4]时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；
当[3/4]＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题主要考查圆锥曲线的定义和性质及其方程．考查分类讨论思想，是中档题．

（1）因为两Y轴上的顶点b，-b到两焦点距离相等，所以题中说的顶点到两个焦点的距离分别为7和1是a 。a+c=7；a-c=1 求的 a=4，c=3，b的平方为5
X的平方/16+Y的平方/5=1
（2）解题思路：p点坐标（X，Y），M（X，Y’）
|OM|分之|OP|= λ 可知
根号下（X的平方+Y的平方）/根号下（X的平方+Y’的平方）=λ
把...

(1)焦点在X轴,一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1,则该顶点应在X轴,
焦距=7-1=6,
设焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0),
c=6/2=3,
长半轴a=c+1=4,
短半轴b=√(a^2-c^2)=√7,
椭圆方程为:x^2/16+y^2/7=1.