（2014•天津）已知函数f（x）=x2-[2/3]ax3（a＞0），x∈R．

解题思路：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；
（Ⅱ）由f（0）=f（[3/2a]）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，[3/2a]）时，f（x）＞0；当x∈（[3/2a]，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={

1

f(x)

|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，等价于A⊆B，分类讨论，即可求a的取值范围．

（Ⅰ）f′（x）=2x-2ax²=2x（1-ax），
∵a＞0，∴当x＜0或x＞
1
a时，f′（x）＜0，当0＜x＜
1
a时，f′（x）＞0，
f（x）单调递减区间为：（-∞，0）和(
1
a，+∞)，单调递增区间为(0，
1
a)，
当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=[1/a]时，有极大值f（[1/a]）=[1
3a2；
（Ⅱ）由f（0）=f（
3/2a]）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，[3/2a]）时，f（x）＞0；当x∈（[3/2a]，+∞）时，f（x）＜0．
设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={[1
f(x)|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅
下面分三种情况讨论：
（1）当
3/2a]＞2，即0＜a＜[3/4]时，由f（[3/2a]）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；
（2）当1≤[3/2a]≤2，即[3/4≤a≤
3
2]时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（-∞，f（2）），∴A⊆（-∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（-∞，0），即（-∞，0）⊆B，∴A⊆B；
（3）当[3/2a]＜1，即a＞[3/2]时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（[1
f(1)，0），A=（-∞，f（2）），∴A不是B的子集．
综上，a的取值范围是[
3/4，
3
2]]．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论．