如图，对称轴为直线x＝72的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

解题思路：（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可．
（2）平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式．
（3）将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长；如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形．
（4）根据O、E、A、F为顶点的四边形能否为平行四边形，利用平行四边形的性质得出即可．

（1）因为抛物线的对称轴是x=[7/2]，
设解析式为y=a（x-[7/2]）²+k．
把A（6，0），B（0，4）两点坐标代入上式，得

a(6−
7
2)2+k＝0
a(0−
7
2)2+k＝4，
解得a=[2/3]，k=-[25/6]．
故抛物线解析式为y=[2/3]（x-[7/2]）²-[25/6]，顶点为（ [7/2]，-[25/6]）．

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=[2/3]（x-[7/2]）²-[25/6]，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示点E到OA的距离．
∵OA是四边形OEAF的对角线，
∴S=2S_△OAE=2×[1/2]×OA•|y|=-6y=-4（x-[7/2]）²+25．
因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），
所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．

（3）根据题意，当S=24时，即-4（x-[7/2]）²+25=24．
化简，得（x-[7/2]）²=[1/4]．
解得x₁=3，x₂=4．
故所求的点E有两个，将x=3代入抛物线方程得y=-4，
分别为E₁（3，-4），E₂（4，-4），
点E₁（3，-4）满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF是菱形；
点E₂（4，-4）不满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF不是菱形；
∴不一定，由S=24可得x=3或x=4，当时x=3是菱形，当x=4时不是菱形．

（4）E₁（2.5，-

点评：
本题考点： 二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；菱形的判定．

考点点评： 此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的性质、菱形的判定等知识．综合性强，难度适中．