x^2+y^2+z^2=a^2 被z=a/4与z=a/2之间的面积?为什么不可以用定积分用圆周2πr（2π根号下a^2-

x^2+y^2+z^2=a^2 被z=a/4与z=a/2之间的面积?为什么不可以用定积分用圆周2πr（2π根号下a^2-z^2)乘以dz
书上用的二重积分的应用,但我用上续方法

beautyman 1年前已收到1个回答举报

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此题除了用二重积分求解,完全可以用定积分(旋转体的侧面积)求解!解法如下.
根据此题的意思,把所求面积看成求圆x²+y²=a²(从x=a/4到x=a/2部分)绕x轴旋转的侧面积.
∵x²+y²=a² ==>y=√(a²-x²) (取y＞0)
==>y'=-x/√(a²-x²)
==>弧长微元dL=√(1+y'²)dx=adx/√(a²-x²)
==>面积微元dS=2πydL=2πaydx/√(a²-x²)
故所求面积=∫dS
=∫2πaydx/√(a²-x²)
=2πa∫√(a²-x²) *[dx/√(a²-x²)]
=2πa∫dx
=2πa*(a/2-a/4)
=2πa*(a/4)
=πa²/2.

1年前追问

beautyman 举报

首先，谢谢你，打字很累，你的做法是对的，呵呵。可是我想问，我的方法错在哪里？谢谢

举报讷木尔河

哈哈，你的“√(a²-z²)”怎么会是微元半径呢？这完全错了。而且，微元dz也是错误的。应该是弧微元ds=√(1+Zx²+Zy²)dxdy。再好好看看教材，多做练习就能理解了。

beautyman 举报

x²+y²=a² -z²，就会是半径啊，我觉得ds=√(1+Zx²+Zy²)dxdy这个是面积微元，而不是弧微元.???

举报讷木尔河

x²+y²=a² -z²这是个在xy上的半径，这样求解是不正确的。除了用我的求解方法可以应用一元积分外，就必须用二元积分ds=√(1+Zx²+Zy²)dxdy这个是曲面面积微元求解了。

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