已知函数f(x)＝lnxx−1+a（a为常数）在x=1处的切线的斜率为1．

解题思路：（Ⅰ）求导函数，利用函数f(x)＝lnxx−1+a（a为常数）在x=1处的切线的斜率为1，可得f′（1）=aa2=1，即可求实数a的值，利用导数的正负可求函数f（x）的单调区间，（Ⅱ）确定由（Ⅰ）知，f（x）在[1e，e]上单调增，在[e，e2]上单调减，可得f（x）在区间[1e，e2]上的最小值为f(1e)=-e，根据不等式f（x）≥k在区间[1e，e2]上恒成立，即可求实数k的取值范围．

（Ⅰ）∵f(x)＝
lnx
x−1+a，
∴f′(x)＝
(x−1+a)•
1
x−lnx
(x−1+a)2，
∵函数f(x)＝
lnx
x−1+a（a为常数）在x=1处的切线的斜率为1，
∴f′（1）=[a
a2=1，
∴a=1，
∴f（x）=
lnx/x]，定义域为（0，+∞），
由f′（x）=[1−lnx
x2＞0，可得0＜x＜e；
由f′（x）=
1−lnx
x2＜0，可得x＞e，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，e），单调减区间为（e，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[
1/e]，e]上单调增，在[e，e²]上单调减，
∴f（x）在区间[
1
e，e2]上的最小值为f(
1
e)或f（e²），
∵f(
1
e)=-e或f（e²）=
2
e2，
∴f(
1
e)＜f（e²），
∴f（x）在区间[
1
e，e2]上的最小值为f(
1
e)=-e
若不等式f（x）≥k在区间[
1
e，e2]上恒成立，则k≤-e．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查函数的单调性，正确求导数是关键．