高中立体几何,高分悬赏,高手进正三棱锥V-ABC的底面边长为2,侧面棱长为3,过底面AB的边的截面交侧棱长VC于P.（1

在正三棱锥V—ABC的底面边长为2,侧棱长为3,过底面AB边的截面交侧棱VC于P.
（1）若P为VC的中点,求截面PAB的面积
因为V-ABC为正三棱锥,所以底面ABC为正三角形
侧面VAB、VAC、VBC为三个全等的等腰三角形
所以,△PAC≌△PBC
所以,PA=PB
取AB中点D,连接PD；取BC中点E,连接VE
则,PD⊥AB,即PD为△PABA边AB上的高
VE⊥BC
所以,在Rt△VEC中,cos∠VCE=CE/VC=(BC/2)/VC=1/3
那么,在△PBC中,由余弦定理有：
PB^2=PC^2+BC^2-2PC*BC*cos∠PCB
=(3/2)^2+2^2-2*(3/2)*2*(1/3)
=17/4
而,在Rt△PDB中,由勾股定理有：
PD^2=PB^2-BD^2=(17/4)-1=13/4
所以,PD=√13/2
所以,△PAB的面积=(1/2)*AB*PD=(1/2)*2*(√13/2)=√13/2
（2）求截面PAB的面积的最大值
由(1)的过程可以看出,无论点P在VC上如何移动,都不会改变△PAB是等腰三角形
所以,设PC=x
那么,在△PBC中,由余弦定理有：
PB^2=PC^2+BC^2-2PC*BC*cos∠PCB
=x^2+4-2x*2*(1/3)
=x^2-(4/3)x+4
而,在Rt△PDB中,由勾股定理有：
PD^2=PB^2-BD^2=x^2-(4/3)x+4-1
=x^2-(4/3)x+3
所以,PD=√[x^2-(4/3)x+3]
所以,△PAB的面积=(1/2)*AB*PD=(1/2)*2*√[x^2-(4/3)x+3]
=√[x^2-(4/3)x+3]
=√[(x-2/3)^2+(23/9)]
因为P是在VC上移动,所以：0≤x≤3
对于函数g(x)=x^2-(4/3)x+3在0≤x≤3上就有最大值=g(3)=8
所以,△PAB面积的最大值为√8=2√2
（此时△PAB就是侧面△VAB）

明 12

这是两道题。先作二：V＝V（ABC-A1B1C1）＝√3a/4.

V1＝V（B1-A1BC1）＝V/3＝√3a/12 （即同底A1B1C1的三棱锥）

V2＝V1/4＝√3a/48. （S⊿BDE＝S⊿BA1C1/4）.

再作一：如图D为AB中点，求⊿PAB.⊿P′AB（最小）高DP与DP′（DP′⊥VC）.

在⊿VDC中：VD＝√（3²-1²）＝2√2.VC＝3. DC＝√3.

cos∠C＝（9+3-8）/（6√3）＝2√3/9.

DP²＝1.5²+3-2×√3×1.5×2√3/9＝3.25.

⑴。S⊿ABP＝（1/2）×AB×DP＝√（3.25）≈1.8（面积单位）

⑵最小面积时DP最小，为DP′⊥VC.

sin∠C＝√69/9.DP′＝√3sin∠C＝√23/3

S⊿ABP′＝（1/2）×AB×DP′＝√23/3≈1.6（面积单位）