已知一个长方形长a,宽b,如何在它内部裁剪出最大面积的正六边形

首先a>b.
分两种情况.
若a/b >= 2/√3,那么最佳情况就是撑满了,也就是六边形有一组对边分别与长方形的长边重合.这样六边形一组对边的距离最大为b,其他情况应该都小于b.
面积就是：6*√3*(b/2)²/4 = (3√3/8)b².
若a/b < 2/√3.则见图.
可以略微旋转一下六边形,想象一下,可以撑得更大些.关键是：O必在中心,撑到最大的限制就是点A,B均在长方形边上.
由几何关系有：∠1+∠2=30°,设六边形半径r（OA=OB=r）,还有一个关系：2*OBcos∠1=b,2*OAcos∠2=a.两式相比,tan∠1=(2b-√3a)/a.再求出cos∠1,带入得出r=(b/a)√(a²+√3ab+b²).面积就代入公式：S=6*√3/4*r²即可.

假设a＞b
六边形有一组对边分别与长方形的短边重合
设六边形边长为x
则x²-（x/2）²=（b/2）²
解得：x=b/√3
六边形面积为：
6*（x*b/2）/2=3*（x*b/2）
=3*（b/√3*b/2）
=3*b²/2√3
=√3b²/2
这里只考虑长边a≥...