已知函数f（x）=xlnx．

解题思路：（1）由f（x）=xlnx，知f′（x）=1+lnx，x＞0，由此能求出函数f（x）的减区间．
（2）由f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，知xlnx≥−x2+ax−6⇒a≤x+lnx+

6

x

，g(x)＝x+lnx+

6

x

，由此能够求出实数a的取值范围．

（1）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
∵f′(x)＝1+lnx＜0⇒0＜x＜
1
e，
∴函数f（x）的减区间为(0，
1
e)．
（2）∵f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，
∴xlnx≥−x2+ax−6⇒a≤x+lnx+
6
x，g(x)＝x+lnx+
6
x，
g′(x)＝
x2+x−6
x2，
当x＞2时，g（x）是增函数，
当0＜x＜2时，g（x）是减函数，
∴a≤g（2）=5+ln2．
即实数a的取值范围是（-∞，5+ln2）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．