（2013•嘉定区二模）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为24π，OA=2，

解题思路：（1）由题意圆柱OO₁的表面积为24π，OA=2，∠AOP=120°建立关于圆柱高的方程求出AA₁=4，即得棱锥的高，再由，∠AOP=120°解出解出AP，进而解出BP，即可解出底面积，再棱锥的体积公式求体积即可；
（2）取AA₁中点Q，连接OQ，PQ，可证得∠POQ或它的补角为异面直线A₁B与OP所成的角，在三角形POQ中求异面直线所成的角即可．

（1）由题意S_表=2π•2²+2π•2•AA₁=24π，
解得AA₁=4．（2分）
在△AOP中，OA=OP=2，∠AOP=120°，
所以AP＝2
3（3分）
在△BOP中，OB=OP=2，∠BOP=60°，
所以BP=2（4分）
VA1−APB＝
1
3S△APB•AA1（5分）
=
1
3•
1
2•2
3•2•4＝
8
3
3（6分）
（2）取AA₁中点Q，连接OQ，PQ，则OQ∥A₁B，
得∠POQ或它的补角为异面直线A₁B与OP所成的角．（8分）
又AP＝2
3，AQ=AO=2，得OQ＝2
2，PQ=4，（10分）
由余弦定理得cos∠POQ＝
PO2+OQ2−PQ2
2PO•OQ＝−

2
4，（12分）
得异面直线A₁B与OP所成的角为arccos

点评：
本题考点： 异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查了求三棱锥的体积与求两异面直线所成的角，在圆柱这一背景下，考查这两个问题方式比较新颖，解答本题关键是正确理解这些几何图形之间的位置关系的转化．