已知函数f（x）=ax+lnxx∈[1，e]

解题思路：（Ⅰ）求导数f′（x），易判断x∈[1，e]时f′（x）的符号，从而得到函数f（x）的单调性，根据单调性即可求得函数的最大值；
（Ⅱ）要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，f（x）_max≤0，问题转化为求函数的最大值，当a≥0时，由单调性易求最大值；当a＜0时，利用导数可求得极值点-[1/a]，再按照极值点在区间[1，e]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论，由单调性可求得最大值，令最大值小于等于0可求得a的范围；

（Ⅰ）若a=1，则f（x）=x+lnx，f′(x)＝1+
1
x=[x+1/x]，
∵x∈[1，e]，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f（x）_max=f（e）=e+1；
（Ⅱ）要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，f（x）_max≤0，
显然当a≥0时，f（x）=ax+lnx在[1，e]上单增，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1＞0，不合题意；
当a＜0时，f′（x）=a+[1/x]=[ax+1/x]，令f′（x）=0，x＝−
1
a，
当x＜−
1
a时，f′（x）＞0，当x＞−
1
a时，f′（x）＜0，
①当−
1
a≤1时，即a≤-1时，f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）_max=f（1）=a＜0，∴a≤-1；
②当−
1
a≥e时，即−
1
e≤a＜0时，f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝ae+1≤0，a≤−
1
e，∴a＝−
1
e；
③当1＜−
1
a＜e时，即−1＜a＜−
1
e时，f（x）在[1，−
1
a]上单增，f（x）在[−
1
a，e]上单减，
∴f(x)max＝f(−
1
a)＝−1+ln(−
1
a)，
∵1＜−
1
a＜e，∴0＜ln(−
1
a)＜1，∴f(−
1
a)＜0成立；
由①②③可得a≤−
1
e．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查利用导数研究闭区间上函数的最值，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．