于双人
幼苗
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(1)证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形
因为E为BC的中点,
所以AE⊥BC
又BC∥AD,因此AE⊥AD
因为PA⊥平面ABCD,AE
平面ABCD,
所以PA⊥AE
而PA
平面PAD,AD
平面PAD且PA∩AD=A,
所以AE⊥平面PAD
又PD
平面PAD,
所以AE⊥PD。
(2)设AB=2,H为PD上任意一点,连接AH,EH
由(1)知AE⊥平面PAD,
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角
在Rt△EAH中,AE=
,
所以当AH最短时,∠EHA最大,
即当AH⊥PD时,∠EHA最大
此时tan∠EHA=
,
因此AH=
又AD=2,
所以∠ADH=45°,
所以PA=2
因为PA⊥平面ABCD,PA
平面PAC,
所以平面PAC⊥平面ABCD
过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC,
过O作OS⊥AF于S,连接ES,则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角,
在Rt△AOE中,EO=AE·sin30°=
,AO=AE·cos30°=
,
又F是PC的中点,在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=
又
在Rt△ESO中,cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值为
。
1年前
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