如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O’

(1)证明见解析；（2）y=- x ² - x+4；顶点E是否在直线CD上，理由见解析；P ₁ （-10，-6），P ₂ （10，-36）．


试题分析：（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB；
（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC ² =OA•OB，又由tan∠CAO=tan∠CAD= ，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；
③根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案，小心漏解．
试题解析:（1）证明：连接O′C，

∵CD是⊙O′的切线，
∴O′C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O′C∥AD，
∴∠O′CA=∠CAD，
∵O′A=O′C，
∴∠CAB=∠O′CA，
∴∠CAD=∠CAB；
（2）①∵AB是⊙O′的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴ ，
即OC ² =OA•OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD= ，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC ² =2CO（10-2CO），
解得CO ₁ =4，CO ₂ =0（舍去），
∴CO=4，AO=8，BO=2
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（-8，0），B（2，0），C（0，4），
∵抛物线y=ax ² +bx+c过点A，B，C三点，
∴c=4，
由题意得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=- x ² - x+4；
②设直线DC交x轴于点F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵O′C∥AD，
∴△FO′C∽△FAD，
∴ ，
∴O′F•AD=O′C•AF，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF= ，F（ ，0）；
设直线DC的解析式为y=kx+m，
则 ，
解得： ，
∴直线DC的解析式为y=- x+4，
由y=- x ² - x+4=- （x+3） ² + 得顶点E的坐标为（-3， ），
将E（-3， ）代入直线DC的解析式y=-- x+4中，
右边=- ×（-3）+4= =左边，
∴抛物线顶点E在直线CD上；
（3）存在，P ₁ （-10，-6），P ₂ （10，-36）．
①∵A（-8，0），C（0，4），
∴过A、C两点的直线解析式为y= x+4，
设过点B且与直线AC平行的直线解析式为：y= x+b，把B（2，0）代入得b=-1，
∴直线PB的解析式为y= x-1，
∴ ，
解得 , （舍去），
∴P ₁ （-10，-6）．
②求P ₂ 的方法应为过点A作与BC平行的直线，
可求出BC解析式，进而求出与之平行的直线的解析式，
与求P ₁ 同法，可求出x ₁ =-8，y ₁ =0（舍去）；x ₂ =10，y ₂ =-36．
∴P ₂ 的坐