设关于x的二次方程（a-1）x2-（a2+a+1）x+2a2+a=0当a______时，此方程至少有一个正整数解；当a_

原方程变形为[（a-1）x-（2a+1）]（x-a）=0
当a=1时，原方程只有一个根x=a；当a≠1时，其二根为x1＝a，x2＝
2a+1
a−1，因此，
（1）当a为任何正整数时，方程至少有一个正整数根，
（2）要使方程二根均为正整数，由于x2＝
2a+1
a−1＝
(2a−2)+3
a−1＝2+
3
a−1，所以，当a为正整数，只要3能被a-1整除，则x₂是正整数，故只须取a=2或a=4即可，当a=2时，方程有两个正整数根x₁=2，x₂=5；
当a=4时，方程有两个正整数根x₁=4，x₂=3；
（3）当x₁=a为负整数时，由a-1＜0，2a+1＜0，∴x2＝
2a+1
a−1＞0，为正数，∴无论a取何值，方程两根不会是负整数．

点评：
本题考点： 一元二次方程的整数根与有理根．

考点点评： 此题主要考查了十字相乘法解一元二次方程，综合性较强，难度较大，题目比较典型．