在等边三角形ABC内有P AP=4 BP=4根号3 CP=8 求三角形ABC面积

作∠PAD＝60°,且使D、P在AB的两侧.过A作AE⊥BP交BP的延长线于E.
∵△ABC是等边三角形,∴AB＝AC、∠BAC＝60°.
显然有：∠DAB＝∠PAD－∠PAB＝60°－∠PAB＝∠BAC－∠PAB＝∠PAC.
∵AD＝AP、AB＝AC、∠DAB＝∠PAC,∴△DAB≌△PAC,∴BD＝CP＝8.
∵AD＝AP、∠DAP＝60°,∴△DAP是等边三角形,∴∠APD＝60°、DP＝AP＝4.
∵BD＝8、DP＝4、BP＝4√3,∴DP^2＋BP^2＝BD^2,∴∠BPD＝90°.
∵∠APD＝60°、∠BPD＝90°,∴∠APE＝30°,又AE⊥PE,∴AE＝AP/2＝2、PE＝2√3,
∴BE＝BP＋PE＝4√3＋2√3＝6√3.
∴AB^2＝AE^2＋BE^2＝4＋（6√3）^2＝4＋102＝112.
∴S(△ABC)＝（1/2）AB^2sin60°＝（1/2）×112×（√3/2）＝28√3.