如图所示，已知点A是半圆上的三等分点，B是

P位于A′B与MN的交点处，AP+BP的值最小；
作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，
连接BA′交MN于P，连接PA，则PA+PB最小，此时PA+PB=PA′+PB=A′B，
连接OA、OA′、OB，
∵









AN =
1
3









MN ，
∴∠AON=∠A′ON=60°．
∵









AB =









BN ，
∴∠BON=
1
2 ∠AON=30°．
∴∠A′OB=90°．
∴A′B=
OA ′ 2 +O B 2 =
1 2 + 1 2 =
2 ．
即AP+BP的最小值是
2 ．