曲面积分 求(xdydz + ydzdx + zdxdy) /[(x^2+y^2+z^2)^(3/2)]

第一题
∫∫Σ (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= (1/a³)∫∫Σ xdydz + ydzdx + zdxdy
= (1/a³)∫∫Σ x(- ∂z/∂x)dxdy + y(- ∂z/∂y)dxdy + zdxdy
= (1/a³)∫∫D a²/√(a² - x² - y²) dxdy
= (1/a)∫(0,2π) ∫(0,a) r/√(a² - r²) drdθ
= 2π
第二题要注意些地方,用高斯公式是最方便的
由于这个不是封闭曲面,所以要在下面加上一个平面,但是也要绕过不连续的奇点部分
所以,这个平面是一个圆环,从yz面或zx面正看这立体的平面图,是一道彩虹的样子
里面的曲面是小球体x² + y² + z² = λ²,外面的曲面是椭球体x²/4 + y²/9 + z²/25 = 1
P,Q,R的偏导数都相等 ==> 结果与曲面无关(跟格林公式的积分与路径无关的原理相似)
选最简单的曲面Σ1：x² + y² + z² = λ²,取下侧
还要补上圆环Σ2：z = 0,取下侧
∫∫Σ1 (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= (- 1/λ³)∫∫Σ1 x(- ∂z/∂x)dxdy + y(- ∂z/∂y)dxdy + zdxdy
= (- 1/λ³)∫∫D λ²/√(λ² - x² - y²) dxdy
= (- 1/λ)∫(0,2π) ∫(0,λ) r/√(λ² - r²) drdθ
= - 2π
而∫∫Σ2 (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= ∫∫Σ2 0dxdy/(x² + y²)^(3/2) = 0
原积分I = 0 - (- 2π) - 0 = 2π
第二题你的思想没错,结果与曲面无关,可以任选包含奇点的曲面
(外曲面取上侧,内曲面取下侧；反之亦然),总之原积分不可以包含该奇点,要把其排除在外