在△ABC中，AB=AC，点O是线段AC与BC垂直平分线的交点，P、Q两点分别在直线AC和AB上，AP=BQ．

解题思路：（1）连接AO、BO、CO，易证△ABC是等边三角形，即可证明△APO≌△BQO，可得∠APO=∠BQO，即可解题；
（2）连接AO、BO、CO，易证△OAB，△OAC是等边三角形，即可证明△PAO≌△QBO，可得∠APO=∠AQO，即可解题；
（3）连接OB、OC，同理（1）问可知，AD⊥BC，且∠BAD=∠CAD=60°，BD=CD，易证PA=[1/2]AQ，BQ=[1/2]AQ，即可证明BE=OE，可得BE=[2/3]BD=[2/3]CD，即可解题．

（1）连接AO、BO、CO，

∵点O是线段AC与BC垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
又∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=AC，
∴直线AO和直线BO分别是边BC和AC的垂直平分线，
∴∠OAP=∠OBQ=[1/2]∠BAC=[1/2]∠ABC=30°，
∵在△APO和△BQO中，

AO=BO
∠PAO=∠QBO
AP=BQ，
∴△APO≌△BQO，（SAS）
∴∠APO=∠BQO，
∵∠BQO+∠AQO=180°，
∴∠APO+∠AQO=180°；
（2）连接AO、BO、CO，

∵点O是线段AC与BC垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
∴△OAB，△OAC是等边三角形，
∴∠QBO=120°，∠PAO=∠PAQ+∠BAO=120°，
∵在△PAO和△QBO中，

AP=BQ
∠PAO=∠QBO
AO=BO，
∴△PAO≌△QBO，（SAS）
∴∠APO=∠AQO；
（3）连接OB、OC，

同理（1）问可知，AD⊥BC，且∠BAD=∠CAD=60°，BD=CD，
∵OA=OB，
∴AB=AO=BO，且∠OBD=[1/2]∠OBA=30°，
∵∠BAC=120°，
∴∠PAQ=60°，∠PAO=120°，△APQ中，∠APQ=90°，∠AQP=30°，PA=[1/2]AQ，
∵AP=BQ，
∴BQ=[1/2]AQ，
∴AP=AB=AO，
∴∠AOP=30°，
∴∠BOE=30°，
∴BE=OE，
∴RT△ODE中，DE=[1/2]OE=[1/2]BE，
∴BE=[2/3]BD=[2/3]CD=4．

点评：
本题考点： A:全等三角形的判定与性质 B:线段垂直平分线的性质 C:含30度角的直角三角形

考点点评： 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△APO≌△BQO是解题的关键．

1. ∵∠BAC=60°，AB=AC ∴△ABC是等边三角形

   又∵点O是线段AC与BC的垂直平分线的交点

   ∴AO=OC，∠QAO=½∠BAC=½∠ACB=∠PCO

   ∵AB=AC，AP=BQ ∴AQ=AB-BQ=AC-AP=CP

   即 AQ=CP，∠QAO=...