（2014•上海模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0），直线（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0（

解题思路：（1）化直线方程为直线系方程，然后联立方程组求出定点F的坐标，得到c的值，然后由椭圆上的点到焦点F的最大距离为3得到a+c=3，求出a的值，结合b²=a²-c²可得b得值，则答案可求；
（2）①设出直线MN的方程，求出M和N的坐标，然后写出MF和NF所在的直线方程，联立后得到S点的坐标，代入椭圆方程后成立，则问题得到证明．
②设出直线MS的方程，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数关系得到M，S两点的纵坐标的和与积，然后代入面积公式，换元后利用“对勾函数”的单调性求得答案．

（1）直线（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0可化为
m（x-2y-1）+3x+y-3=0，
所以

x−2y−1＝0
3x+y−3＝0，解得

x＝1
y＝0．
所以F（1，0）．则c=1，又a+c=3，所以a=2，则b²=a²-c²=3．
所以椭圆方程为
x2
4+
y2
3＝1；
（2）①设直线MN的方程为x=s，M的坐标为（s，t），N的坐标为（s，-t）．
且s、t满足3s²+4t²=12．
MF的直线方程为y＝
t
s−1(x−1)，NT的直线方程为y＝
−t
s−4(x−4)．
联立解得交点S（[5s−8/2s−5，
3t
2s−5]），代入椭圆方程3x²+4y²=12得，
3（5s-8）²+36t²=12（2s-5）²，化简得：3s²+4t²=12．
所以点S恒在椭圆C上；
②直线MS过点F（1，0），设方程为x=my+1，M（x₁，y₁），S（x₂，y₂）．
S△MST＝
1
2×3|y1−y2|＝
3
2
(y1+y2)2−4y1y2．
联

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了“设而不求”的解题方法，考查了利用函数的单调性求最值，该题综合性较强，需要学生具有较好的理解能力和计算能力，是难题．