如图，抛物线y=x 2 -2x+c的顶点A在直线 l ：y=x-5上。

（1）∵顶点A的横坐标为x= =1，且顶点A在y=x-5上，
∴当x=1时，y=1-5=-4，
∴A（1，-4）；
（2）△ABD是直角三角形，
将A（1，-4）代入y=x ² -2x+c，可得，1-2+c=-4，∴c=-3，
∴y=x ² -2x-3，∴B（0，-3）
当y=0时，x ² -2x-3=0，x ₁ =-1，x ₂ =3
∴C（-1，0），D（3，0），
BD ² =OB ² +OD ² =18，AB ² =（4-3） ² +1 ² =2，AD ² =（3-1） ² +4 ² =20， BD ² +AB ² =AD ² ，
∴∠ABD=90°，
即△ABD是直角三角形；
（3）存在．
由题意知：直线y=x-5交y轴于点A（0，-5），交x轴于点F（5，0）
∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l，
即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，
如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C设P（x ₁ ，x ₁ -5），
则G（1，x ₁ -5）
则PC=|1﹣x ₁ |，AG=|5﹣x ₁ ﹣4|=|1﹣x ₁ |PA=BD=3
由勾股定理得：（1-x ₁ ） ² +（1-x ₁ ） ² =18，
x ₁ ² -2x ₁ -8=0，x ₁ =-2，4
∴P（-2，-7），P（4，-1）
存在点P（-2，-7）或P（4，-1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形。