如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．
如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（2）若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2α为定值，并求此定值．
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解题思路：（1）根据抛物线的标准方程，可求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（2）作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C，D，求出|FA|，|FB|，即可得到结论．
（2）作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C，D，求出|FA|，|FB|，即可得到结论．
（1）设抛物线C：y2=2px（p＞0），则2p=8，从而p=4
因此焦点F（2，0），准线方程为x=-2；
（2）证明：作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C，D．
则由抛物线的定义，可得|FA|=|AC|，|FB|=|BD|
设A（x1，y1），B（x2，y2），则|FA|=|AC|=|FA|cosα+4，∴|FA|＝
4
1−cosα
同理|FB|＝
4
1+cosα
记直线m与AB的交点为E，则|FE|=|FA|-|AE|=|FA|-
|FA|+|FB|
2=[1/2(|FA|−|FB|)=
4cosα
sin2α]
∴|FP|=
|FE|
cosα=
4
sin2α
∴|FP|-|FP|cos2α=
4
sin2α（1-cos2α）=8．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．
考点点评： 本题考查抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
1年前
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