设C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于点F1，焦点为F2；椭圆C2以F1，F2为焦点，离心率e=[1/2]．设P

解题思路：（1）m=1时，F₂（1，0），由此能求出椭圆方程3x²+4y²=12．
（2）l：y=k（x-1），联立消元得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由此利用弦长公式能求出直线的斜率，问题得以解决．
（3）设椭圆长半轴为a，半焦距为c，由题设有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m，设P（x₀，y₀），对于抛物线C₁，r₂=x₀+m．由此能推导出使得三角形PF₁F₂的边长是连续正整数的m的值．

解．（1）∵y²=4mx（m＞0），
∴m=1时，F₂（1，0），
∵c=1，e=[1/2]，
∴a=2，b²=a²-c²=3，
故椭圆C₂的方程为
x2
4+
y2
3=1，
即3x²+4y²=12．
（2）依题意知直线l存在斜率，设l：y=k（x-1），联立

y2＝4x
y＝k(x−1)
得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∵直线l与抛物线C₁有两个交点，∴k≠0，
设A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），弦A₁A₂的中点M（x，y），
由韦达定理得x₁+x₂=2+
4
k2，x₁•x₂=1，
则|A₁A₂|=
1+k2|x₁-x₂|=
1+k2•
(x1+x2)2−4x1x2=
4(1+k2)
k2
三角形PF₁F₂的周长=2a+2c=6，
∴
4(1+k2)
k2=6，
解得k=±
2，
∴y=
2x-
2）或y=−
2x+
2，
（3）设椭圆长半轴为a，半焦距为c，由题设有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．
又设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m
设P（x₀，y₀），对于抛物线C₁，r₂=x₀+m；
对于椭圆C₂，
r2

a2
c−x0=e=[1/2]，
即r₂=[1/2]（4m-x₀），
∴x₀+m=[1/2]（4m-x₀），
解得x₀=[2/3]m，
∴r₂=[5/3]m，从而 r₁=[7/3]m，
因此，三角形PF₁F₂的边长分别是[5/3]m，[6/3]m，[7/3]m，
当m=3时，边长为5，6，7符合题意，
当m=3的倍数，均不适合．
故正实数m=3，使得△PF₁F₂的边长是连续正整数．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查直线斜率的求法，考查使得三角形周长是连续正整数的求法．解题时要认真审题，注意椭圆、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，属于难题．