已知数列{an}中，a1=2，a2=4，an+1=3an-2an-1（n≥2，n∈N*）．

解题思路：（1）欲证数列{a_n+1-a_n}是等比数列，利用等比数列的定义，只需证

an+1−an

an−an−1

（n≥2）是个非零常数．
（2）利用（1）的结论求出b_n，然后求出数列{b_n}的前n项和为S_n，通过对不等式的分析，探讨使S_n＞2010的n的最小值．

（I）∵a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2）
∴（a_n+1-a_n）=2（a_n-a_n-1）（n≥2）
∵a₁=2，a₂=4∴a₂-a₁=2≠0，∴a_n+1-a_n≠0
故数列{a_n+1-a_n}是公比为2的等比数列
∴a_n+1-a_n=（a₂-a₁）2^n-1=2ⁿ
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）++（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+2^n-3++2¹+2
=
2(1−2n−1)
1−2+2=2ⁿ（n≥2）
又a₁=2满足上式，
∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（II）由（I）知bn＝
2(an−1)
an＝2(1−
1
an)=2(1−
1
2n)＝2−
1
2n−1
∴Sn＝2n−(1+
1
21+
1
22++
1
2n−1)
=2n−
1−
1
2n
1−
1
2
=2n−2(1−
1
2n)
=2n−2+
1
2n−1
由S_n＞2010得：2n−2+
1
2n−1＞2010，
即n+
1
2n＞1006，因为n为正整数，所以n的最小值为1006

点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题是个中档题，主要考查了由数列的递推式证明等比数列和求数列通项和前n项和的方法，同时考查对于不等式的分析能力．

这类问题可以这样做 构造数列 a(n+1)+Aan=B[an+Aa(n-1)] 注意A B为系数 可将此式整理后与已知式对比 求出A B 然后可得出 an+Aa(n-1) 这个整体为什么数列 至于首项 题中已知 然后求出通项公式 有时这类题还设一问 求an通项公式 这时若A=1的话可用叠加法 希望能帮到你...

证明：（1）an+1=3an-2an-1
an+1-an=2(an-an-1)
a1=2, a2=4
a2-a1=2不为0
an-an-1不为0
(an+1-a...