（理科）已知函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的实常数．

（1）a=1时，T=1，
a=-1时，f（x+1）=-f（x），f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴T=2；
（2）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，f _n （x）=af _n-1 （x-1）=a ² f _n-1 （x-2）=…=a ⁿ f ₁ （x-n），∴f _n （x）=a ⁿ （x-n）（n+1-x），
∴ -
1
4 |a | n ≤ f n (x)≤
1
4 |a | n ；
当|a|＞1时f（x）∈（-∞，+∞）舍去；
当a=1时 f(x)∈[0，
1
4 ] 符合，当a=-1时 f(x)∈[-
1
4 ，
1
4 ] 符合；
当0＜a＜1时 f(x)∈[0，
1
4 ] 符合，当-1＜a＜0时 f(x)∈[0，
1
4 ] 符合；∴a∈[-1，0）∪（0，1]．
（3）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，f _n （x）=af _n-1 （x-1）=a ² f _n-1 （x-2）=…=a ⁿ f ₁ （x-n），∴f _n （x）=a ⁿ （3 ^x-n +3 ^n-x ）；
易证函数f _n （x）=a ⁿ （3 ^x-n +3 ^n-x ），x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z当a＞0时是增函数，
此时∴ f n (x)∈[2 a n ，
10
3 a n ] ，
若函数y=f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，则必有 2 a n+1 ≥
10
3 a n ，解得： a≥
5
3 ；
显然当a＜0时，函数y=f（x）在区间[0，+∞）上不是单调函数；
所以 a≥
5
3 ．