已知函数f(x)＝12x2+x，g（x）=2a2lnx+（a+1）x．

解题思路：（1）先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．（2）先求出导数g′(x)＝2a2x+(a+1)，若g'（x）=0，解得x＝−2a2a+1利用x＞0即可实数a的取值范围；（3）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．

（1）f'（x）=x+1，∵点（2，4）在曲线上，∴k=f'（2）=3
∴所求的切线方程为y-4=3（x-2），即y=3x-2…（3分）
（2）g′(x)＝
2a2
x+(a+1)
若g'（x）=0，则x＝−
2a2
a+1．
∵x＝−
2a2
a+1＞0，∴a＜-1．…（6分）
（3）h(x)＝
1
2x2+x−2a2lnx−(a+1)x＝
1
2x2−2a2lnx−ax(x＞0)h′(x)＝x−
2a2
x−a＝
x2−ax−2a2
x≥0
即
(x−2a)(x+a)
x≥0…（11分）
当a＞0时，单调递增区间为[2a，+∞）
当a=0时，单调递增区间为（0，+∞）
当a＜0时，单调递增区间为[-a，+∞）…（14分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本小题主要考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查直线的斜率、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．