如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OABC，点C的坐标为（8，0），点B的坐标为（6，4）．
如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OABC，点C的坐标为（8，0），点B的坐标为（6，4）．（1）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（2）点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，同时点Q从A点出发以相同的速度沿线段AB向B点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，四边形BCPQ为平行四边形；
（3）若点M为直线AC上方的抛物线上一动点，当点M运动到什么位置时，△AMC的面积最大？求出此时M点的坐标和△AMC的最大面积．
赞 fanglifd 春芽
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解题思路：（1）易知点A的坐标为（0，4），用待定系数法就可求出过A，B，C三点的抛物线的表达式．
（2）若四边形BCPQ为平行四边形，则有BQ=CP，从而建立关于t的方程，就可求出t的值．
（3）过点M作x轴的垂线，交AC于点N，设点M的横坐标为m，由S△AMC=S△AMN+S△CMN=[1/2]MN•OC可以得到S△AMC=-（m-4）2+16．然后利用二次函数的最值性就可解决问题．
（2）若四边形BCPQ为平行四边形，则有BQ=CP，从而建立关于t的方程，就可求出t的值．
（3）过点M作x轴的垂线，交AC于点N，设点M的横坐标为m，由S△AMC=S△AMN+S△CMN=[1/2]MN•OC可以得到S△AMC=-（m-4）2+16．然后利用二次函数的最值性就可解决问题．
（1）如图1，
∵梯形OABC是直角梯形，点B的坐标为（6，4），
∴点A的坐标为（0，4）．
设过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+4，
则有
36a+6b+4＝4
64a+8b+4＝0，
解得
a＝−
1
4
b＝
3
2．
∴过A、B、C三点的抛物线的表达式为y＝−
1
4x2+
3
2x+4．
（2）如图2，
由题可得：BQ=6-t，CP=t．
当BQ∥CP且BQ=CP时，四边形BCPQ为平行四边形．
∴6-t=t．
解得：t=3．
（3）过点M作x轴的垂线，交AC于点N，如图3，
设直线AC的解析式为y=kx+4，
则有8k+4=0．
解得：k=-[1/2]．
∴直线AC的解析式为y=-[1/2]x+4．
设点M的横坐标为m，
则有yM=-[1/4]m2+[3/2]m+4，yN=-[1/2]m+4．
∴MN=yM-yN
=（-[1/4]m2+[3/2]m+4）-（-[1/2]m+4）
=-[1/4]m2+2m．
∴S△AMC=S△AMN+S△
点评：
本题考点： 二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质．
考点点评： 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及一次函数的解析式、二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，有一定的综合性．
1年前
6
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1年前6个回答
你能帮帮他们吗