在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中侧棱A1A垂直于面ABCD,AB平行于DC,AB垂直于AD,AD=CD=1,AA1=

证明：如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0)．
易得＝(1,0,－1),＝(－1,1,－1),于是·＝0,
所以B1C1⊥CE.
(2)＝(1,－2,－1)．
设平面B1CE的法向量m＝(x,y,z),
则即
消去x,得y＋2z＝0,不妨令z＝1,可得一个法向量为m＝(－3,－2,1)．
由(1),B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,
故＝(1,0,－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是cos〈m,〉＝,
从而sin〈m,〉＝.
所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.
(3)＝(0,1,0),＝(1,1,1)．
设＝λ＝(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有＝＋＝(λ,λ＋1,λ)．
可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则
sin
θ＝|cos〈,〉|＝
＝.
于是,解得,
所以AM＝.
(方法二)
(1)证明：因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,
所以CC1⊥B1C1.
经计算可得B1E＝,B1C1＝,EC1＝,
从而B1E2＝,
所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,
又CC1,C1E平面CC1E,CC1∩C1E＝C1,
所以B1C1⊥平面CC1E,
又CE平面CC1E,故B1C1⊥CE.
(2)过B1作B1G⊥CE于点G,连接C1G.
由(1),B1C1⊥CE,故CE⊥平面B1C1G,得CE⊥C1G,
所以∠B1GC1为二面角B1－CE－C1的平面角．
在△CC1E中,由CE＝C1E＝,CC1＝2,可得C1G＝.
在Rt△B1C1G中,B1G＝,
所以sin∠B1GC1＝,
即二面角B1－CE－C1的正弦值为.
(3)连接D1E,过点M作MH⊥ED1于点H,可得MH⊥平面ADD1A1,连接AH,AM,则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角．
设AM＝x,从而在Rt△AHM中,有MH＝,AH＝.
在Rt△C1D1E中,C1D1＝1,ED1＝,得EH＝.
在△AEH中,∠AEH＝135°,AE＝1,
由AH2＝AE2＋EH2－2AE·EHcos
135°,得,
整理得5x2－－6＝0,解得x＝.
所以线段AM的长为.