（2013•枣庄二模）已知抛物线x2=2py上点（2，2）处的切线经过椭圆E：y2a2+x2b2＝1(a＞b＞0)的两个

解题思路：（1）把（2，2）代入抛物线方程x²=2py，即可得到p，即可得到抛物线的方程．利用导数即可得到切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程，即可求出与坐标轴的交点坐标，即可得到a，b．可得椭圆的方程．
（2）假设直线BC恒过定点D，由题意可知直线BC的斜率必存在，故可设直线BC的方程为y=kx+m（m≠2）．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．由（1）知A（0，2）．把直线方程与椭圆方程联立可得△＞0及根与系数的关系，再利用k_AB•k_AC=

y1−2

x1

•

y2−2

x2

即可得出m．进而可得答案．
（3）利用椭圆的性质和三角形的重心性质即可得出．

（1）把（2，2）代入抛物线方程x²=2py，得2²=2p×2，解得p=1，
∴抛物线的方程为x²=2y；
∴y′=x，∴抛物线x²=2y在点（2，2）处的切线的斜率为y′|_x=2=2，
∴抛物线在点（2，2）处的切线方程为y-2=2（x-2），化为y=2x-2．
它与两坐标轴的交点分别为（1，0），（0，-2），由题意可得a=2，b=1．
∴椭圆的方程为
y2
4+x2＝1．
（2）假设直线BC恒过定点D，由题意可知直线BC的斜率必存在，故可设直线BC的方程为y=kx+m（m≠2）．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．由（1）知A（0，2）．
联立

y＝kx+m

y2
4+x2＝1消去y得到（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0，
由△＞0，得（2km）²-4（k²+4）（m²-4）＞0，化为k²-m²+4＞0．
∴

x1+x2＝−
2km
k2+4
x1x2＝
m2−4
k2+4，
∴k_AB•k_AC=
y1−2
x1•
y2−2
x2
=
(kx1+m−2)(kx2+m−2)
x1x2
=

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题综合考查了椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为一元二次方程得根与系数的关系、三角形的重心性质等基础知识及基本技能，考查了推理能力和计算能力．