sunny5628 春芽
共回答了14个问题采纳率:92.9% 举报
(1)∵f(x)=2x+a•2-x,
∴f(-x)=2-x+a•2x,
若f(x)为偶函数,则对任意的x∈R,都有f(x)=f(-x),
即2x+a•2-x=2-x+a•2x对任意的x∈R都成立.
化简可得(2x-2-x)(1-a)=0对任意的x∈R都成立.
由于2x-2-x不恒等于0,故有1-a=0,即a=1
∴当a=1时,f(x)是偶函数;
若f(x)为奇函数,则对任意的x∈R,都有f(x)=-f(-x),
即2x+a•2-x+2-x+a•2x=0,(2x+2-x)(1+a)=0对任意的x∈R都成立.
由于2x+2-x不恒等于0,故有1+a=0,即a=-1
∴当a=-1时,f(x)是奇函数,
综上可得当a=1时,f(x)是偶函数;
当a=-1时,f(x)是奇函数;
当a≠±1时,f(x)是非奇非偶函数.
(2)∵函数f(x)在(-∞,2]上为减函数,
∴对任意的x1<x2≤2,都有f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)-f(x2)=(2x1−2x2)(1−
a
2x12x2)>0恒成立.
由2x1−2x2<0,知1−
a
2x12x2<0恒成立,即2x1•2x2<a恒成立.
由于当x1<x2≤2时(2x1•2x2)max<4,
∴a≥4
点评:
本题考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质.
考点点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性,涉及分类讨论的思想,属中档题.
1年前
你能帮帮他们吗