已知函数f（x）=alnx+bx，且f（1）=-1，f′（1）=0，

（1）由b=f（1）=-1，f′（1）=a+b=0，∴a=1，
∴f（x）=lnx-x为所求；
（2）∵x＞0，f′（x）=[1/x]-1=[1−x/x]，当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表：

x 0＜x＜1 x=1 x＞1
f′（x） + 0 -
f（x） ↗ 极大值 ↘∴f（x）在x=1处取得极大值-1，即所求最大值为-1；
（3）证明：由（2）得lnx≤x-1恒成立，
∴lnx+lny=[lnxy/2+
lnx+lny
2]≤[xy−1/2]+[x−1+y−1/2]=[xy+x+y−3/2]成立．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查利用导数求函数的最值及证明不等式问题，利用导数证明不等式往往根据前面结论：如最值等．

1年前

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