给定A≥4,求函数f(x)=1/√(1+x)+1/√(1+A/4),其中x>0,求f(x)最大值用A表示

记a=√(1+x), b=√(1+A/x) 则有f(x)=1/a+1/b f(x)^2=1/a^2+1/b^2+2/(ab)=(a^2+b^2)/(ab)^2+2/(ab) (ab)^2=1+A+x+A/x 记t=ab=√(1+A+x+A/x),则a^2+b^2=2+x+A/x=1-A+t^2 则f(x)=(1-A+t^2)/t^2+2/t=(1-A)/t^2+2/t+1=(1-A)[1/t+1/(1-A)]^2+1+1/(A-1) 因为A>=4,因此当1/t=1/(A-1)时上式取最大值1+1/(A-1)=A/(A-1) 因此f(x)的最大值为√[A/(A-1)]