如图,在三棱锥A-BCD中,O是BC中点,AO⊥平面BCD,CD⊥BD∠BCD=π/6,BC=2,OA=根号2,E是CD

郭敦顒回答：∵在三棱锥A-BCD中,O是BC中点,AO⊥平面BCD,CD⊥BD,∠BCD=π/6=30°,BC=2,OA=√2,E是CD上一点,且CE=3ED,F是OA的中点,连EF.（1）证明：EF平行面ABD取AB中点M.连NF,则MF∥BO,且MF=（1/2）BO,在BD上取点N,且BN=3DN,则NE∥BC,且NE=（1/4）BC,NE∥BO,且NE=（1/2）BC,∴NE∥MF,且NE=MF,∴四边形NEFM为平行四边形,EF∥NM,NM在平面ABD上,∴EF∥平面ABD. （2）求二面角B-AC-D余弦值.∵AO⊥平面BCD,BC=2,OA=√2,∴AO⊥BC,BO=CO=1,AB=AC=√（1+2）=√3,cos∠ACB=CO/AC=1/√3=（1/3）√3,∴∠ACB=54.73561°作BP⊥AC于P,则CP=BCcos54.73561°=2×1/√3=（2/3）√3；或Rt⊿AOC∽Rt⊿BPC,CP/BC=CO/AC,CP=2×1/√3=（2/3）√3,CP=（2/3）√3.∠BAC=180°－2×54.73561°=70.52878°,∠ABP=90°－70.52878°=19.47122°.∵CD⊥BD,∠BCD=π/6=30°,BC=2,∴BD=1,CD=（1/2）√3,连DO,则DO=BO=1,△BOD为等腰△,又AO⊥DO,∴AD=AB=AC=√3,在△ADC中,按余弦定理：cosA=（b²+c²－a²）/（2bc）cos∠DAC=（3+3－3/4）/6=7/8,∴∠DAC=28.955°,∠ACD=∠ADC=（180°－28.955°）/2=75.5225°,∵CP=（2/3）√3,AP=（13）√3,作PG⊥AC于P,交AD于G,则PG=AP tan28.955°=[（1/3）√3]×0.55328=0.3194PG=0.3194.连BG,则∠BPG为二面角B-AC-D的平面角.AG= AP/ cos 28.955°=[（1/3）√3] /0.875=0.6598.在△ABD中,AB=AD=√3,BD=1,按余弦定理得：cos∠BAD=（3+3－1）/6=5/6,∴∠BAD=33.5573°,cos∠BAD=（3+3－BG²）/6=5/6,6－BG²=5,BG²=1,∴BG=1.在△ABP中,AB=√3,AP=（1/3）√3,∠BAP=∠BAC=70.52878°按余弦定理得：cos∠BAP= cos70.52878°=1/3=（3+1/3－BP²）/610/3－BP²=2,BP²=4/3,∴BP=（2/3）√3.在△BPG中,BP=（2/3）√3, PG=0.3194,BG=1,按余弦定理得：cos∠BPG= （4/3+0.1020－1）/0.7376=0.5902,∴∠BPG=53.829,∴二面角B-AC-D的余弦值为0.5902. AG P M F
O CB N E D