已知函数 g(x)= 1 x +lnx ， f(x)=mx- m-1 x -lnx(m∈R) ．

（Ⅰ）y=f（x）-g（x）=mx-
m
x -2lnx，y′=
m x 2 -2x+m
x 2 ，
由于y=f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，则mx ² -2x+m≥0或者mx ² -2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立，
即m ≥
2x
x 2 +1 或者m ≤
2x
x 2 +1 在[1，+∞）上恒成立，
而0＜
2x
x 2 +1 =
2
x+
1
x ≤1，故m≥1或者m≤0，
综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F（x）=mx-
m
x -2lnx-
2e
x ，
①当m≤0时，由x∈[1，e]得，mx-
m
x ≤0，-2lnx-
2e
x ＜0，
所以在[1，e]上不存在一个x ₀ ，使得f（x ₀ ）-g（x ₀ ）＞h（x ₀ ）；
②当m＞0时，F′（x）=m+
m
x 2 -
2
x +
2e
x 2 =
m x 2 -2x+m+2e
x 2 ，
因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx ² +m＞0，所以F′（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，故F（x）在x∈[1，e]上单调递增，
F（x） _max =me-
m
e -4，只要me-
m
e -4＞0，解得m＞
4e
e 2 -1 ，
故m的取值范围是（
4e
e 2 -1 ，+∞）．