真TMDii 幼苗
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O2E |
BE |
(Ⅰ)(1)证明:在图①中,连接OE,OF,OA.
∵⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于点E、F、G.
∴OF⊥BC,OE⊥AC,∠ACB=90°,
∴四边形CEOF是矩形,
又∵EO=OF,
∴四边形CEOF是正方形,
CE=CF=r1.
又∵AG=AE=3-r1,BG=BF=4-r1,
AG+BG=5,
∴(3-r1)+(4-r1)=5.
即r1=1.
(2)连接OG,在Rt△AOG中,
∵r1=1,AG=3-r1=2,
tan∠OAG=[OG/AG]=[1/2];
(Ⅱ)(1)连接O1A、O2B,作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E,AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC.
由tan∠OAG=[1/2],知tan∠O1AD=[1/2],
同理可得:tan∠O2BE=
O2E
BE=[1/3],
∴AD=2r2,DE=2r2,BE=3r2.
∵AD+DE+BE=5,
r2=[5/7];
(2)如图③,连接O1A、OnB,作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、…、OnM⊥AB交于点M.
则AO1、BOn分别平分∠CAB、∠ABC.
tan∠O1AD=[1/2],tan∠OnBM=[1/3],
AD=2rn,DE=2rn,…,MB=3rn,
又∵AD+DE+…+MB=5,
2rn+2rn+…+3rn=5,
(2n+3)rn=5,
rn=[5/2n+3].
点评:
本题考点: 相切两圆的性质;三角形的内切圆与内心;解直角三角形.
考点点评: 此题主要考查了切线长定理以及锐角三角函数关系以及相切两圆的性质,根据已知得出tan∠O1AD=[1/2],tan∠O2BE=O2EBE=[1/3]是解题关键.
1年前
你能帮帮他们吗