已知抛物线L：x2=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L上存在不同的两点A、B满足AM+BM=0．

（1）设A，B两点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
∵

AM+

BM＝0，查得M为AB的中点，即x₁+x₂=4．显然直线AB与x轴不垂直，
设直线AB的方程为y-2=k（x-2），
即y=kx+2-2k，将y=kx+2-2k代入x²=2py中，得x²-2pkx+4（k-1）p=0．
∴

△＝4p2k2−16(k−1)p＞0
x1+x2＝2pk＝4，∴p＞1，故p的取值范围为（1，+∞）．
（2）当p=2时，由（1）求得A，B的坐标分别为A（0，0），B（4，4）．
假设抛物线L：x²=4y上存在点C(t，
t2
4)（t≠0且t≠4），
使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．设圆的圆心坐标为N（a，b），
∵

|NA|＝|NB
|NA|＝|NC，∴


a2+b2＝
(a−4)2+(b−4)2

a2+b2＝
(a−t)2+(b−
t2
4)2
即

a+b＝4
4a+tb＝2t+
1
8t3解得

a＝−
t2+4t
8
b＝
t2+4t+32
8．
∵抛物线L在点C处切线的斜率为k＝y′|x＝t＝
t
2，而t≠0，且该切线与NC垂直，
∴
b−
t2
4
a−t•
t
2＝−1．
即2a+bt−2t−
1
4t3＝0．
将a＝−
t2+4t
8，b＝
t2+4t+32
8代入上式，得t³-2t²-8t=0，
即t（t-4）（t+2）=0．
∵t≠0且t≠4，
∴t=-2．故存在满足题设的点C，其坐标为（-2，1）．

点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题综合考查了直线与圆锥曲线以及圆于圆锥曲线的综合问题，是对知识的综合，是道难题．