（2014•贵阳一模）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．

解题思路：（1）O是AD₁的中点，连接OE，由中位线定理可得EO∥BD₁，再由线面平行的判定定理可得BD₁∥平面A₁DE；
（2）由正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，根据面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ADD₁A₁，进而线面垂直的性质定理得到AB⊥A₁D，结合A₁D⊥AD₁及线面垂直的判定定理，可得A₁D⊥平面AD₁E，进而D₁E⊥A₁D；
（3）以点D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设M（1，y₀，0）（0≤y₀≤2），分别求出平面D₁MC的法向量和平面MCD的一个法向量，根据二面角D₁-MC-D的大小为[π/6]，结合向量夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得M占的坐标，进而求出AM长．

证明：（1）四边形ADD₁A₁为正方形，O是AD₁的中点，点E为AB的中点，连接OE．
∴EO为△ABD₁的中位线∴EO∥BD₁…（2分）
又∵EO⊂平面A₁DE∴BD₁∥平面A₁DE…（4分）
（2）由已知可得：AE⊥平面ADD₁A₁，A₁D⊂平面ADD₁A₁
∴AE⊥A₁D，
又∵A₁D⊥AD₁，AE∩AD₁=A
∴A₁D⊥平面AD₁E，D₁E⊂平面AD₁E
∴A₁D⊥D₁E…．（4分）
（3）由题意可得：D₁D⊥平面ABCD，以点D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，2，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），
设E（1，y₀，0）（0≤y₀≤2），
∵

EC＝(−1，2−y0，0)，

D1C＝(0，2，−1)
设平面D₁EC的法向量为

n1=（x，y，z）则



n1•

EC＝0

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证得EO∥BD1，（2）的关键是熟练掌握线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化，（3）的关键是设出E点坐标，求出两个半平面的法向量，然后结合向量夹角公式构造方程．