（2006•江西）已知数列{an}满足：a1=[3/2]，且an=3nan-12an-1+n-1（n≥2，n∈N*）．

（1）将条件变为：1-[n
an=
1/3(1-
n-1
an-1)，因此{1-
n
an]}为一个等比数列，其首项为
1-[1
a1=
1/3]，公比[1/3]，从而1-[n
an=
1
3n，
据此得a_n=
n•3n
3n-1（n≥1）1°
（2）证：据1°得，a₁•a₂•a_n=
n！
(1-
1/3)•(1-
1
32)(1-
1
3n)]
为证a₁•a₂•a_n＜2•n！
只要证n∈N*时有(1-
1
3)•(1-
1
32)(1-
1
3n)＞[1/2]2°
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n∈N*，有(1-
1
3)•(1-
1
32)(1-
1
3n)≥1-（[1/3+
1
32+…+
1
3n]）3°
用数学归纳法证明3°式：
（1）n=1时，3°式显然成立，
（2）设n=k时，3°式成立，
即(1-
1
3)•(1-

点评：
本题考点： 数列递推式；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题中的隐含条件．

1年前

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