（2014•枣阳市模拟）如图，分别以菱形BCED的对角线BE、CD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax

解题思路：（1）先把y=0代入y=ax²-6ax-16a，得到ax²-6ax-16a=0，由a＜0，解方程x²-6x-16=0求出x₁=-2，x₂=8，得到A（-2，0），B（8，0），再由△AOC∽△COB，根据相似三角形对应边成比例得出OC²=OA•OB=16，求出OC=4，得到C（0，4），然后把点C点坐标代入y=ax²-6ax-16a，求出a=−

1

4

，即可求出抛物线的解析式；
（2）①先由点C，D关于x轴对称，得出D点坐标，再设直线BD的解析式为y=kx+b，把点B，点D的坐标代入，运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=[1/2]x-4，设Q（m，-[1/4]m²+[3/2]m+4），M（m，[1/2]m-4），则QM=（-[1/4]m²+[3/2]m+4）-（[1/2]m-4）=-[1/4]m²+m+8；
②过点C作CN⊥QM于N．先由S_{四边形CQBM}=S_△QMC+S_△QMB=[1/2]QM•OB，将数值代入得到S_{四边形CQBM}=-m²+4m+32，再根据二次函数的性质即可求出当m等于2时，四边形CQBM的面积取得最大值36；
（3）分三种情况进行讨论：①当∠QBD=90°时，先由同角的余角相等得出∠QBP=∠BDO，则tan∠QBP=tan∠BDO，再根据正切函数的定义得到（-[1/4]m²+[3/2]m+4）：（8-m）=8：4，解方程求出m的值，即可得到Q点的坐标；②当∠BDQ=90°时，显然点Q与点A重合；③当∠BQD=90°时，根据圆周角定理可得不存在符合题意的点Q．

（1）令y=0，则ax²-6ax-16a=0，
∵a＜0，
∴x²-6x-16=0，
∴x₁=-2，x₂=8，
∴A（-2，0），B（8，0），
∴OA=2，OB=8．
∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=OA•OB，
∴OC²=2×8=16，
又OC＞0，
∴OC=4，
∴C（0，4）．
把点C（0，4）代入y=ax²-6ax-16a，
得-16a=4，解得a=−
1
4，
∴y=-[1/4]x²+[3/2]x+4；

（2）①设直线BD的解析式为y=kx+b，
∵点C，D关于x轴对称，
∴D（0，-4）．
把点B，点D的坐标代入上式，
得

8k+b＝0
b＝−4，解得

k＝
1
2
b＝−4，
∴直线BD的解析式为y=[1/2]x-4．
设Q（m，-[1/4]m²+[3/2]m+4），M（m，[1/2]m-4），
∴QM=（-[1/4]m²+[3/2]m+4）-（[1/2]m-4）=-[1/4]m²+m+8．
故答案为-[1/4]m²+m+8；
②如图，过点C作CN⊥QM于N．
∵S_{四边形CQBM}=S_△QMC+S_△QMB=

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，四边形的面积，直角三角形的判定等知识．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．