（2014•保定二模）已知函数f（x）=3x+lnx+[4/x]+1（自然对数的底数e=2.71828…）．

（1）因为f(x)＝3x+lnx+
4
x+1
所以f′(x)＝3+
1
x−
4
x2＝
3x2+x−4
x2，(x＞0)，
令f'（x）＞0得x＞1（x＜−
4
3舍去）
令f'（x）＜0得0＜x＜1，
∴f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．
（2）由（1）可知，
①当[1/e＜a≤1时，函数f（x）在[
1
e，a]上递减，
∴fmax(x)＝f(
1
e)＝
3
e+4e，
∴fmin(x)＝f(a)＝3a+lna+
4
a+1，
②当1＜a≤e时，函数f（x）在[
1
e，1]上递减，在[1，e]上递增
∴f_min（x）=f（1）=8，f（a）≤f（e），
∴f(
1
e)−f(a)≥f(
1
e)−f(e)＝
3
e−1+4e−3e−1−
4
e＝
(e−1)2−2
e＞0，
即f(
1
e)＞f(a)，
∴fmax(x)＝f(
1
e)＝
3
e+4e．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考察分类讨论思想，是一道综合题．

1年前

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