平面直角坐标系的原点为O,在抛物线Y=1/2x^2上取一点P,在X轴上取一点A,使OP=PA,过A点作X轴的垂线与直线O

答：
因为：AQ⊥OA
所以：∠OAQ=90°
因为：OP=PA,△APQ是正三角形
所以：OP=PA=PQ
所以：点P是斜边OQ的中点
因为：△APQ是正三角形
所以：∠OQA=60°,∠QOA=30°
所以：OA=√3AQ
设抛物线上点P为(p,p^2 /2),则点A为（2p,0）
tan∠QOA=(p^2/2) /p=tan30°=√3/3
所以：p=2√3/3
所以：OA=4√3/3,AQ=4/3
所以：△APQ面积S=(4/3)*(4/3)*(√3/2)*(1/2)=4√3/9
所以：△APQ的面积为4√3/9