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首先,单调函数在每点都存在左右极限.
以一点c处的左极限为例,不妨设f(x)单调增.
对x < c,有f(x) ≤ f(c).于是f(x)在x < c的范围内的取值有上界,由确界原理存在上确界,设为A.
我们证明:事实上A就是f(x)在c点的左极限.
任意ε > 0,由A是上确界,存在y < c使A-ε < f(y) ≤ A.
而f(x)单调增,因此对任意x∈(y,c)均有A-ε < f(x) ≤ A,故|f(x)-A| < ε.
于是A即为左极限,每点均存在左极限.右极限同理可证.
下面证明原题.
仍不妨设f(x)是增函数.
任取c∈(a,b),f(x)在c点的左右极限A,B与函数值满足不等式f(a) ≤ A ≤ f(c) ≤ B ≤ f(b).
若A < f(c),则由单调性,f(x)取不到A与f(c)之间的值,矛盾.于是只有A = f(c).
同理B = f(c).因此f(x)在c左右极限均存在并等于f(c),即f(x)在c点连续.
在端点a处,成立右极限 = f(a),b处成立左极限 = f(b).
f(x)在[a,b]连续.
以一点c处的左极限为例,不妨设f(x)单调增.
对x < c,有f(x) ≤ f(c).于是f(x)在x < c的范围内的取值有上界,由确界原理存在上确界,设为A.
我们证明:事实上A就是f(x)在c点的左极限.
任意ε > 0,由A是上确界,存在y < c使A-ε < f(y) ≤ A.
而f(x)单调增,因此对任意x∈(y,c)均有A-ε < f(x) ≤ A,故|f(x)-A| < ε.
于是A即为左极限,每点均存在左极限.右极限同理可证.
下面证明原题.
仍不妨设f(x)是增函数.
任取c∈(a,b),f(x)在c点的左右极限A,B与函数值满足不等式f(a) ≤ A ≤ f(c) ≤ B ≤ f(b).
若A < f(c),则由单调性,f(x)取不到A与f(c)之间的值,矛盾.于是只有A = f(c).
同理B = f(c).因此f(x)在c左右极限均存在并等于f(c),即f(x)在c点连续.
在端点a处,成立右极限 = f(a),b处成立左极限 = f(b).
f(x)在[a,b]连续.
1年前 追问
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1. 要证明实数完备性首先要说什么是实数, 我学的数分教材是用Dedekind分割构造的实数. 大意是一个Dedekind分割将有理数集分为两个非空子集A和B的无交并, 保证其中A的所有元素比B的所有元素都小, 且A没有最大元素. 实数集就抽象的构造为所有Dedekind分割的集合. 这个构造与我们通常理解的实数是通过将x对应到A=(-∞,x), B=[x,+∞)而相联系的. 我们可以在这个抽象的集合上定义运算, 序关系等一切实数集上的结构. 而实数的完备性也可以比较容易的得到, 比如证明确界原理就可以直接在分割的基础上进行. 也许你有疑问: 我们只是构造了像是实数的东西, 最后也没说明白"真正的"实数是什么. 但是公理化方法就是这样的, 只关心对象具有的性质, 而不关心对象到底是什么. 实数集定义为一个完备的全序域, 只要具有这样的性质, 不管什么集合都可以称为实数集的一个模型. Dedekind分割只是实数集的一种模型, 还有很多不同的模型, 但它们都有相同的性质, 用哪个无所谓. 公理化思想我的理解也不深, 以上分析仅供参考. 虽不太确定, 我认为几何公理化是在实数基础上的, 所以不适合用直线连续性证明实数连续性. 而数分中一般也不会对实数的构造过多着墨, 更多的是在证明实数完备性的几个定理互相等价. 2. 其实我觉得叫导数中值定理也不错. 个人认为微分中值定理是对微分学中出现的中值定理的一种统称, 习惯而已. 英文wiki上分别叫Rolle's Theorem, Mean Value Theorem和Cauchy's Mean Value Theorem. 并没有出现微分或导数的字眼. 积分中值定理则叫1st(2nd) Mean Value Theorem for Integration.
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