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WCG2008
1. 要证明实数完备性首先要说什么是实数, 我学的数分教材是用Dedekind分割构造的实数. 大意是一个Dedekind分割将有理数集分为两个非空子集A和B的无交并, 保证其中A的所有元素比B的所有元素都小, 且A没有最大元素. 实数集就抽象的构造为所有Dedekind分割的集合. 这个构造与我们通常理解的实数是通过将x对应到A=(-∞,x), B=[x,+∞)而相联系的. 我们可以在这个抽象的集合上定义运算, 序关系等一切实数集上的结构. 而实数的完备性也可以比较容易的得到, 比如证明确界原理就可以直接在分割的基础上进行. 也许你有疑问: 我们只是构造了像是实数的东西, 最后也没说明白"真正的"实数是什么. 但是公理化方法就是这样的, 只关心对象具有的性质, 而不关心对象到底是什么. 实数集定义为一个完备的全序域, 只要具有这样的性质, 不管什么集合都可以称为实数集的一个模型. Dedekind分割只是实数集的一种模型, 还有很多不同的模型, 但它们都有相同的性质, 用哪个无所谓. 公理化思想我的理解也不深, 以上分析仅供参考. 虽不太确定, 我认为几何公理化是在实数基础上的, 所以不适合用直线连续性证明实数连续性. 而数分中一般也不会对实数的构造过多着墨, 更多的是在证明实数完备性的几个定理互相等价. 2. 其实我觉得叫导数中值定理也不错. 个人认为微分中值定理是对微分学中出现的中值定理的一种统称, 习惯而已. 英文wiki上分别叫Rolle's Theorem, Mean Value Theorem和Cauchy's Mean Value Theorem. 并没有出现微分或导数的字眼. 积分中值定理则叫1st(2nd) Mean Value Theorem for Integration.