月思夜 幼苗
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证明:(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0…(1分)
∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
∴-f(x)=f(-x)…(3分)
∵f(x)的定义域为R,关于原点对称.
∴f(x)是奇函数.…(4分)
(2)在R上任取x1,x2,且x1>x2,
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
∵x1-x2>0,
∴f(x1-x2)>0
∴f(x1)-f(x2)>0,即:f(x1)>f(x2),
∴f(x)在R上单调递增.…(7分)
∵f(1)=2,
∴f(2)=f(1)+f(1)=4,f(-2)=-f(2)=-4…(8分)
∴f(x)在[-2,2]上最大值为4,最小值为-4.…(9分)
(3)∵f(t2-2t)+f(t2-k)>0,f(x)是定义在R上的奇函数,
∴
f(t2−2t)>−f(t2−k)=f(−t2+k)…(11分)
由(2)可知f(x)在R上单调递增,
∴t2-2t>-t2+k,
∴k<2t2-2t=2(t−
1
2)2-[1/2]恒成立…(12分)
∴k<−
1
2…(14分)
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用;奇偶性与单调性的综合.
考点点评: 本题考查抽象函数及其用,着重考查函数的奇偶性、单调性与最值,难点在于(2)中f(x)在R上单调递增的分析,突出化归思想的考查,属于难题.
1年前
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