计算∫(x^2+y^2)ds,其中L是由曲线x=2(cost+tsint),y=2(sint-tcost),(0

原计算有误，曲线是什么曲线不影响计算，重答如下：
曲线 x = 2(cost+tsint), y = 2(sint-tcost) 在 0t=π/2 时，x=π，y=2， 则
在曲线段 ds=2√[(tsint)^2+(tcost)^2]=2t
∫(x^2+y^2)ds
= ∫<0,π/2>4(1+t*2) 2tdt + ∫<0,π>x*2dx + ∫<0,2>(π^2+y^2)dy
= π^2+π^4/8+π^3/3+2π^2+8/3
= 8/3+3π^2+π^3/3+π^4/8.

抱歉，不善于画图。 描述和重算如下：
当 t=0 时，x=2， y=0，
当 t=π/6 时，x=√3+π/6≈2.23 ， y=1-√3π/6≈0.12 ，
当 t=π/4 时，x=√2(1+π/4)≈2.49 ， y=√2(1-π/4)≈0.30 ，
当 t=π/3 时，x=1+√3π/3≈2.82 ， y=√3-π/3≈0.68，
当 t=π/2 时，x=π≈3.14 ， y=2， 则
在曲线段 0≤t≤π/2， ds=2√[(tsint)^2+(tcost)^2]=2t,
在直线 y=0 段，2≤x≤π； 在直线 x=π 段，0≤y≤2。
∫(x^2+y^2)ds
= ∫<0,π/2>4(1+t*2) 2tdt + ∫<2,π>x*2dx + ∫<0,2>(π^2+y^2)dy
= π^2+π^4/8+π^3/3-8/3+2π^2+8/3
= 3π^2+π^3/3+π^4/8.