已知P（x，y）为函数y=lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率f（x）．

（Ⅰ）由题意知f（x）=
lnx
x ，
∴f′（x）=
1-lnx
x 2
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上递增；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上递减；
所以，f（x）的最大值为f（e）=
1
e ．…（4分）
（Ⅱ）∵e ^a ＞1
∴a＞0，且e ^a -a＞0
因为g（x）=x ² -ax•f（x）=g（x）=x ² -alnx，
所以g′（x）=2x-
a
x =
2 x 2 -a
x =
2(x-

2a
2 )(x+

2a
2 )
x ．
当x∈（0，

2a
x ）时，g′（x）＜0，当x∈（

2a
x ，+∞）时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，

2a
x ）上是减函数，在（

2a
x ，+∞）上是增函数．
所以，当x=

2a
x 时，g（x）取最小值g（

2a
x ）=
a
2 （1-ln
a
2 ）…（7分）
下面讨论函数g（x）的零点情况．
①当
a
2 （1-ln
a
2 ）＞0，即0＜a＜2e时，
函数g（x）在（1，e ^a ）上无零点；
②当
a
2 （1-ln
a
2 ）=0，即a=2e时，

2a
2 =
e ，
又
a
2 ＜a＜e ^a ＜e ^2a
∴

2a
2 ＜e ^a ，则1＜

2a
2 ＜e ^a ，
而g（1）=1＞0，g（

2a
2 ）=0，g（e ^a ）＞0
∴g（x）在（1，e ^a ）上有一个零点；
③当
a
2 （1-ln
a
2 ）＜0，即a＞2e时，e ^a ＞

2a
2 ＞
e ＞1，
由于g（1）=1＞0，g（

2a
x ）=
a
2 （1-ln
a
2 ）＜0，
g（e ^a ）＞e ^2a -alne ^a =e ^2a -a ² =（e ^a -a）（e ^a +a）＞0，
所以，函数g（x）在（1，e ^a ）上有两个零点．
综上所述，g（x）在（1，e ^a ）上，有结论：
当0＜a＜2e时，函数g（x）无零点；
当a=2e 时，函数g（x）有一个零点；
当a＞2e时，函数g（x）有两个零点．…（10分）